Velik dosežek v matematiki kaže meje simetrije


Uspeh za Roberta Zimmer je v teh dneh drugače definiran. Kot predsednik Univerze v Chicagu od leta 2006 je postal naslov za iztovarjanje devetih finančnih daril in pisanje op-edov v obrambi prostega govora v kampusu. Toda preden je bil Zimmer univerzitetni predsednik, je bil matematik. Že dolgo, ko je zaostal za resnimi raziskavami, se načrt za raziskave, ki ga je sprožil, končno odplačuje.

Pred letom dni je trije matematiki rešil tisto, kar se imenuje Zimmerjeva domneva, kar je povezano z okoliščinami, v katerih geometrični prostori kažejo določene vrste simetrije. Njihov dokaz je eden največjih matematičnih dosežkov v zadnjih letih. Postavlja vprašanje, ki se je pojavilo pri Zimmerju v obdobju intenzivne intelektualne dejavnosti konec sedemdesetih in zgodnjih osemdesetih let 20. stoletja.

Revija Quanta


fotografija avtorja

O podjetju

Prvotna zgodba, ki jo je prejel z dovoljenjem revije Quanta, uredniško neodvisna publikacija fundacije Simons, katere poslanstvo je izboljšati razumevanje znanosti s področja javnega obveščanja tako, da pokriva raziskovalne dosežke in trende v matematiki ter fizikalnih in življenjskih znanostih.

"Rekel sem, da pet let nikoli nisem zaspal, ne da bi razmišljal o tem, vsak večer, zato je bilo zelo obsedeno in to je super, da bi videl ljudi [solve] "je dejal Zimmer.

Kot splošno pravilo ima več dimenzij, ki jih ima geometrični prostor, več simetrije, ki jih lahko ima. To lahko vidite v krogu, ki obstaja na dvodimenzionalni ravnini, in krogli, ki se razteza v tri dimenzije: obstaja več načinov vrtenja kroglice kot pa kroženja kroga. Dodatne dimenzije kroga ustvarjajo dodatne simetrije.

Zimmerjeva domneva se nanaša na posebne vrste simetrije, znane kot rešetke višjega ranga. Sprašuje, ali dimenzija geometrijskega prostora omejuje, ali se uporabljajo te vrste simetrije. Avtorji novega dela – Aaron Brown in Sebastian Hurtado-Salazar z Univerze v Chicagu in David Fisher s univerze v Indiani – so pokazali, da pod določeno dimenzijo te posebne simetrije ni mogoče najti. Izkazalo se je, da je Zimmerjeva domneva resnična.

Robert Zimmer, zdaj predsednik Univerze v Chicagu, je razvil domnevo, ki nosi svoje ime pred skoraj 40 leti.

Prispevek Univerze v Chicagu

Njihovo delo rešuje eno pomembnih dolgoletnih vprašanj in odpira pot raziskovanju mnogih drugih. Prav tako razkriva nekaj globokega pomena za geometrijske prostore. Simetrija je ena izmed najosnovnejših lastnosti, ki jih je treba razumeti za take prostore. To novo delo pravi natančno: te simetrije lahko obstajajo v eni vrsti prostora, ne pa v drugem. Dosežek pride po tem, ko je napredek na domnevi zastal desetletja.

"Izgledalo je kot takšna domneva, ki bi ljudje že dolgo ostala zaposlena," je povedala Amie Wilkinson, matematik na Univerzi v Chicagu, ki je letos organizirala konferenco o novem dokazu. "In na sorazmerno preprost način, so porušili vprašanje."

Zadovoljevanje simetrije

Simetrija je med prvimi geometrijskimi koncepti otrok, ki se srečujejo v matematiki. Z roko manipulacijo, vidijo, da je mogoče vrteti, obrniti in potisniti oblike okrog in na koncu z obliko, s katero so začeli. To ohranjanje predmeta pod spremembo ima zadovoljivo resonanco – to je nakazovanje globokega občutka reda v vesolju.

Matematiki imajo svoj formalni jezik za preučevanje simetrije. Jezik jim daje kratek način razmišljanja o vseh različnih simetrih, ki veljajo za določen geometrijski prostor.

Kvadrat, na primer, ima osem simetrije – osem načinov, da ga je mogoče obrniti ali zavrteti, da se vrne kvadrat. Nasprotno pa se krog lahko vrti s poljubnim številom stopinj; ima neskončne simetrije. Matematiki vzamejo vse simetrije za določen geometrijski objekt ali prostor in jih pakirajo v "skupino".

Skupine so predmet samega zanimanja. Pogosto se pojavljajo s preučevanjem določenega geometrijskega prostora, vendar se pojavljajo tudi v popolnoma negeometričnih kontekstih. Kompleti številk lahko na primer oblikujejo skupine. (Razmislite: Obstaja določena simetrija, da lahko dodate oznake +5 ali -5 na številko.)

"Skupina načeloma lahko nastane kot simetrija vseh vrst stvari," je dejal Zimmer.

Obstaja več eksotičnih oblik simetrije kot tiste, ki jih učimo v osnovni šoli. Upoštevajte, na primer, simetrijo rešetk. Najpreprostejša rešetka je le dvodimenzionalna mreža. V ravnini lahko premaknete rešetko navzgor, navzdol, levo ali desno poljubno število kvadratov in končate z rešetko, ki je podobna tisti, s katero ste začeli. Prav tako bi lahko odražali mrežo nad vsakim posameznim kvadratom v mreži. Prostori, opremljeni z rešetkami, imajo neskončno število različnih simetrije rešetk.

Lucy Reading-Ikkanda / Quanta Magazine

Rešetke lahko obstajajo v prostorih poljubnega števila dimenzij. V tridimenzionalnem prostoru je lahko rešetka iz kocke namesto kvadratov. V štirih dimenzijah in višjih ne morete več videti rešetke, vendar deluje na enak način; matematiki ga lahko natančno opišejo. Interesne skupine v Zimmerjevi domnevi so tiste, ki vključujejo posebne "višje rangirane" rešetke, ki so rešetke v nekaterih višjih dimenzijskih prostorih. "Ta čudna mreža bi bila zelo lepa, da bi videla, če bi jo lahko videli, čeprav ne morem," je rekel Hurtado-Salazar. "Moja ugibanja bi bilo lepo videti."

V 20. stoletju so matematiki odkrivali te skupine v številnih različnih okoljih – ne le geometrijo, temveč tudi v teoriji številk, logiki in računalništvu. Ko odkrijete nove skupine, je naravno vprašati – katere vrste prostorov kažejo te posebne zbirke simetrije?

Včasih je očitno, če skupin ni mogoče uporabiti v prostoru. Potrebno je samo trenutek, da ugotovimo, da simetrične skupine kroga ni mogoče uporabiti za kvadrat. Rotirajte kvadrat za 10 stopinj, na primer, in ne boste dobili nazaj kvadrat, ki ste ga začeli. Toda kombinacija skupine z neskončnimi simetriji in prostora z mnogimi dimenzijami otežuje ugotavljanje, ali skupina uporablja.

"Ker imate bolj zapletene skupine v veliko višji razsežnosti," je dejal Zimmer, "ta vprašanja postanejo veliko bolj zapletena."

Loose Connections

Ko razmišljamo o simetriji, si slišimo celotno obliko, ki se vrti, kot je kvadrat obrnjen v smeri urinega kazalca za 90 stopinj. Ampak simetrija je na ravni zrnatosti resnično o premikajočih se točkah. Preoblikovanje prostora s simetrijo pomeni, da se vsaka točka v prostoru premakne na drugo točko v prostoru. V tej luči vrtenje kvadrata v smeri urinega kazalca za 90 stopinj res pomeni: Vzemite vsako točko na kvadrat in jo zavrtite v smeri urinega kazalca za 90 stopinj, tako da se konča na drugem robu od koder se je začelo.

David Fisher, matematik na univerzi v Indiani, je eden od trije matematikov, ki so dokazali Zimmerjevo domnevo.

Eric Rudd / Univerza Indiana

To gibanje okoli točk se lahko naredi bolj ali manj rigidno. Najbolj znane simetrične transformacije – odražajo kvadrat nad njegovo diagonalo ali pa vrtijo kvadratek 90 stopinj – so zelo toga. Stisni so v smislu, da ne ustvarjajo točk. Točke, ki so bile toce pred refleksijo, so še vedno vertices po refleksiji (samo različne tocke) in tocke, ki so tvorile ravne robove, preden refleksija še vedno tvori ravne robove po refleksiji (samo razlicni ravni robovi).

Obstajajo bolj mehke, bolj fleksibilne vrste simetričnih transformacij, ki so zanimive za domnevo Zimmerja. Pri teh spremembah so točke bolj temeljito reorganizirane; po pretvorbi niso nujno ohraniti prejšnjega odnosa med seboj. Na primer, lahko premaknete vsako točko na tri kvadratne kvadratke okoli oboda kvadrata – ki izpolnjuje osnovne zahteve pretvorbe simetrije, da preprosto premakne vsako točko v prostor na nov položaj v prostoru. Aaron Brown, koautor novega dokaza, je opisal, kakšne so lahko te slabše vrste transformacij v kontekstu žogice.

"Lahko vzamete severni in južni drog in jih zavrtite v nasprotnih smereh. Razdalje in točke bi se raztegnili, «je dejal Brown.

Ko govorite o omrežju, namesto da bi se v ravnini samo pomaknili mrežo, vam je dovoljeno, da zasukate mrežo ali jo raztegnete na nekaterih mestih in jo sklenejo v druge, tako da transformirana mreža ne bo več prekrivala začetno mrežo. Te vrste preoblikovanja so manj trdne. Imenujejo jih diffeomorfizmi.

Lucy Reading-Ikkanda / Quanta Magazine

Zimmer je imel dober razlog za uporabo te slabše verzije simetrije v svoji domnevi. Posebne višje rangirane rešetke, ki so sodelovali v njegovi domnevi, so prvič preučevali v šestdesetih letih prejšnjega stoletja Grigory Margulis, ki je za svoje delo osvojil medalje Fields. Margulis je dal popoln opis, katere vrste prostorov se lahko preoblikujejo s temi rešetkami višjega ranga, ko dovolite samo toge transformacije.

Zimmerjeva domneva je bila naravno nadaljevanje dela Margulisa. Začne se s seznama prostorov, na katerih lahko deluje rešetka višjega ranga – seznam, ki ga je našel Margulis – in sprašuje, ali se ta seznam razširi, ko dovolite rešetkam, da delujejo na manj toge načine.

V svojem novem delu trije matematiki dokazujejo, da se sprostitev definicije simetrije dejansko ne spremeni, če veljajo višje rane rešetke simetrije. Tudi, če dovolite rešetkam, da spremenijo prostor na zelo neenakomeren način – s striženjem, upogibanjem, raztezanjem – rešetke so še vedno močno omejene, kjer lahko delujejo.

"Ker ste v to težavo dodali veliko prožnosti, je takojšnja naivna intuicija seveda lahko te rešete. Zato je presenetljivo, da odgovor ni, v nekaterih primerih ne morejo, "je dejal Fisher.

"To vam pove, da je nekaj zelo temeljnega, kako [spaces] so združeni, ki odražajo, ali imajo lahko te ukrepe, "je dejal Wilkinson.

Zimmerjeva domneva je le prvi korak v večjem programu. Ko je odgovoril na domnevo, soavtorji novega dela postavili grobo omejeno omejitev na prostore, v katerih lahko deluje višje rang rešetke. Naslednja in še bolj ambiciozna faza dela je, da se osredotočimo na tiste prostore, v katerih se pojavljajo rešetke – in nato razvrstiti vse različne načine, kako te rešetke pretvorijo te prostore.

"Program naj bi na koncu omogočil razvrstitev vseh teh načinov. Obstaja veliko zanimivih vprašanj, ki presegajo tisto, kar vidite pri ugotavljanju, da obstajajo določena mesta, kjer rešetke preprosto ne morejo delovati, «je dejal Zimmer.

Prvotna zgodba, ki jo je prejel z dovoljenjem revije Quanta, uredniško neodvisna publikacija fundacije Simons, katere poslanstvo je izboljšati razumevanje znanosti s področja javnega obveščanja tako, da pokriva raziskovalne dosežke in trende v matematiki ter fizikalnih in življenjskih znanostih.


Več velikih WIRED zgodbe